Kiel – (miku). Als Lehrer einer elften Klasse an einem Gymnasium habe ich mit meinen Schülerinnen und Schülern nun schon einige Wochen lang Prototypen des TI-Nspire der Firma Texas Instruments für die Erarbeitung von Grundlagen aus der Analysis benutzt. Diese Geräte wurden uns von der Firma Texas Instruments im Rahmen des Projektes »CiMS« (Computer im Mathematikunterricht der Sekundarstufe) zur Verfügung gestellt. Dieser Bericht soll einige Reaktionen von Schülern, Eltern und Lehrern auf das Arbeiten mit dem TI-Nspire darstellen. Abschließend werfe ich anhand einiger Beispiele einen Blick auf die vom Nspire intern verwendeten Algorithmen und gebe einen kurzen Ausblick auf Veränderungen, die mit einer überarbeiteten Version des Nspire noch diesen Sommer kommen sollen. Dieser Bericht stellt ausschließlich meine ganz persönliche Meinung dar.

Stoff
Unser derzeitiges Thema ist die Einführung in die Differentialrechnung. Ich hatte zu Beginn der Einheit vorgesehen, den gesamten Stoff ausschließlich mit dem Nspire zu erarbeiten. Dieses Vorgehen lehnten einige Schülerinnen und Schülern jedoch aus grundsätzlichen Erwägungen ab. Sie gaben zu bedenken, daß sie vielleicht an eine Schule wechseln könnten, die Mathematik ohne Einsatz von grafikfähigen und mit Algebra-Programmen unterrichtet. Wieder andere wollten ihre mathematischen Fähigkeiten auf keinen Fall von soviel Elektronik und undurchsichtigen Algorithmen abhängig machen, wie sie im Nspire verwendet werden; sie brauchten ausdrücklich die Sicherheit, den Stoff vollständig händisch zu beherrschen. Daher plante ich um und gestalte den Unterricht nun weitestgehend zweigleisig: grundsätzliche Verfahrensweisen wie die Polynomdivision und das Berechnen von Ableitungen mit Hilfe der Summen-, Produkt, Quotienten- und Kettenregel werden zunächst händisch eingeübt und erst später in Anwendungs-Aufgaben, wenn das Gelernte beherrscht wird, dem Rechner übertragen. Könnte der Nspire offen zeigen, welche Algorithmen er zur Lösung einer Aufgabe anwendet, und diese Schritt für Schritt mit dem Benutzer durchgehen, wären wahrscheinlich einige der Vorbehalte der Schüler weniger stark ausgeprägt. Da wir auch Extremwertaufgaben lösen (etwa eine Aufgabe zur »Optimalen Kiste« und eine zum »Berliner Bogen«), müssen auch Nullstellen von Polynomen gefunden werden. Sofern dies Methoden erforderte, die über das Anwenden der p/q-Formel hinausgingen, haben wir das Lösen allein dem Nspire anvertraut, da wir noch keine Näherungsverfahren kennengelernt haben. Gleichungssysteme haben wir (zur Wiederholung) händisch und rechnergestützt gelöst. Eine unserer Anwendungen war beispielsweise das Anpassen eines Polynoms an eine Menge gegebener Punkte, etwa ausgesuchter Punkte eines MacDonalds-»M«s. Die dabei auftretenden Gleichungssysteme waren von bis zu fünfter Ordnung, so daß die Schülerinnen und Schüler in diesem Fall gern auf die Automatik des Nspire zurückgriffen und auch die zuweilen knifflige Eingabe des Systems (s. u.) in das Gerät in Kauf nahmen. Um den Umgang mit Polynomen und die Grafikmöglichkeiten des Nspire grafisch zu erkunden, habe ich den Lernenden Formen vorgegeben, die sie am Nspire nachbauen sollten.

Lehrersicht   
Vorausgeschickt sei, daß die Schülerinnen und Schüler in meinem Kurs ganz unterschiedliche mathematische Leistungsfähigkeit und sehr unterschiedlich ausgeprägtes Interesse an Mathematik an den Tag legen. Neben wenigen Spitzen gibt es in meiner Klasse nur ein dünnes Leistungs-Mittelfeld und eine ganze Reihe von Lernenden, die am liebsten ganz ohne Mathematikkenntnisse das Gymnasium durchlaufen würden. Einer meiner Kollegen leitet eine elfte Parallelklasse, in der deutlich mehr Schülerinnen und Schüler mit einem ausgeprägten Interesse an Mathematik lernen. Ich kann keine homogenen Aussagen über die Akzeptanz des Nspire und den Lernerfolg mit dem Gerät bei allen Lernenden machen, vielmehr muß ich die Schüler nach Interesse, Leistungsbereitschaft und Leistungsfähigkeit differenzieren. Dabei zeichnet sich ab, daß überdurchschnittlich leistungsstarke Schülerinnen und Schüler von der Technik auch überdurchschnittlich stark profitieren, wohingegen leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler zuweilen überfordert sind. Ein Erklärungsversuch für diese Beobachtung betrachtet die Komplexität der Aufgaben, die wir mit dem Gerät behandeln. Diese übertrifft jene früherer, »klassischer«, Aufgaben oft erheblich, und Lernende, die sich bisher mit dem Auswendiglernen von Rezepten wie der p/q-Formel über Wasser hielten, die den anzuwendenden Verfahren zugrundeliegenden Ideen aber nie in hinreichender Tiefe verstanden haben, erfahren nun, daß die »neue Aufgabenkultur« echtes Verständnis erfordert sowie die Fähigkeit, gelernte Verfahren zielführend zu kombinieren. Zwar könnte der experimentelle Ansatz, den CAS-Systeme wie der Nspire zweifellos fördern, auch für diese Lernenden eine Hilfe und Erleichterung sein, aber wegen des fehlenden Verständnisses für den Sinn der anzuwendenden Methoden gerät ihre experimentelle Suche nach einer Lösung oft zu einem Stochern im Nebel. Daß nun bei den Nspire-Prototypen, die wir verwenden, unvermeidlicherweise auch noch Software-Fehler und weitere Unzulänglichkeiten technischer Art hinzukommen, verwirrt schwächere Lernende zusätzlich und macht es ihnen stellenweise sehr schwer, ihre eigenen Fehler von Fehlern des Gerätes zu unterscheiden und aus ihnen zu lernen.

Dagegen gehen stärkere Schülerinnen und Schüler inzwischen sehr souverän und wie selbstverständlich, nebenbei, mit dem Gerät um. Für sie ist der Nspire einfach ein kleiner Computer, den sie praktischerweise im Ranzen dabei haben, um Aufgaben zu lösen. Sie könnten diese Aufgaben ebenso an anderen Computern und mit anderen Programmen lösen, da sie das Wesentliche – das Verständnis dafür, wie das vorliegende Problem gelagert ist und welche Methoden für die Lösung in Frage kommen könnten – verstanden haben und der Prozeß des Lösens für sie mehr eine Frage der momentan vorhandenen Möglichkeiten zu seiner technischen Umsetzbarkeit ist. Da der Nspire langsamer rechnet als Laptops, weniger Speicher hat, die Eingabe per Maus sowie den Zugriff auf mathematische Ressourcen im Internet nicht ermöglicht und da zudem die Qualität einiger der verwendeten Algorithmen hinter Desktop-CAS-Produkten der Konkurrenz deutlich zurückbleibt (siehe unten), bleibt als Vorteil des Geräts für stärkere Schülerinnen und Schüler allein sein vergleichsweise günstiger Preis und die Tragbarkeit. So hält es die in Anschaffung und Unterhalt verleichsweise teuren Computerräume für ressourcenintensivere Lasten, etwa für das Bearbeiten von Bild- und Tondateien und für die Recherche im Internet, frei.

Ob und inwieweit Schülerinnen und Schüler aus dem Leistungsmittelfeld objektiv vom Arbeiten mit dem TI-Nspire guthaben, ist mir nach meinen Erfahrungen noch nicht klar, zumal auch die erste Klausur mit Nspire erst im Juni ansteht.

Ein Aspekt meiner Sicht auf den Nspire und das Pilotprojekt ist auch die Zusammenarbeit mit Texas Instruments Deutschland. Die Lernenden und ich haben Texas Instruments mehr als einmal eMails mit Listen von Schwächen und Problemen bei der Benutzung der Geräte geschickt – und auch prompt freundliche Antwort erhalten, unsere Rückmeldungen seien an die »Technik« weitergeleitet worden.

Schülersicht 
Inzwischen zeichnen sich Tendenzen dafür ab, wie Lernende die Arbeit mit dem Gerät subjektiv beurteilen. Ein Kollege hat dazu einen

Fragebogen entwickelt, der die Schülerinnen und Schüler nach ihren Einschätzungen befragt. Auf einer Skala von »1« (trifft völlig zu) bis »6« (trifft überhaupt nicht zu) haben unsere Schülerinnen und Schüler in den elften Klassen (mit unterschiedlichen Klassenstärken) folgende Fragen beantwortet (in den drei rechten Spalten steht jeweils das gerundete Mittel aus den Antworten):

Anscheinend hat in einem anderen Kurs der Einsatz des TI-Nspire sogar die Einstellung der Lernenden zum Mathematikunterricht insgesamt verbessert, und die Lernenden haben mehrheitlich den Eindruck, daß sie mit dem Gerät nach einer Eingewöhnungszeit nun besser zurechtkommen, erleben mathematische Probleme als anschaulicher dargestellt, wünschen sich zugleich aber auch mehr Mathematikstunden ohne den TI-Nspire.

Es wurde auch qualitatives Feedback erhoben. Die Lernenden sollten drei Fragen mit freien Formulierungen beantworten und dabei angeben, 1) was Sie an der Arbeit mit dem TI Nspire sehr gut fanden/finden, 2) was sie an der Arbeit mit dem TI-Nspire schlecht fanden und 3) was verändert werden sollte. In meinem Kurs erhielt ich folgende Antworten:

Sehr gut fand/finde ich:
• dass man schneller die Lösungen findet und sich Graphen zeichnen lassen kann.
• dass durch den Rechner die Rechnungen verkürzt werden und einige Arbeit erspart bleibt.
• dass es den Rechner gibt
• dass ich, seit ich den TI-Nspire habe, viel besser in Mathematik zurechtkomme und besseren Überblick über mathematische Probleme bekommen habe
• dass schwierige Aufgaben mit geringem Zeitaufwand gelöst werden können.
• dass man mit dem TI-Nspire Graphen zeichnen lassen kann und Mathe anschaulicher wird
• Im späteren Berufsleben werden immer mehr Elektronikkenntnisse gefragt, darum ist die Bedienung eigentlich wichtig.
• dass man die im Kopf gerechneten Aufgaben sehr schnell mit dem TI-Nspire überprüfen kann
• Das Lösen von Gleichungen und Systemen
• dass der TI-Nspire komplexe Gleichungssysteme schnell löst
• dass das Gerät Graphen (2D) zeichnen kann
• dass die Dokumente gespeichert werden können
• dass man im Umgang mit technischen Hilfsmitteln besser wird
• die Erklärungen bzw. Einführungen in den Taschenrechner
• dass der TI-Nspire sehr kompakt ist und man alles zusammen hat
• dass mir alles veranschaulicht wird vom Rechner
• anschauliche Graphen
• dass durch die Anwendung des Geräts unnötige Rechenzeit wegfällt
• wenn man die Funktionen draufhat, ist der Taschenrechner bestimmt eine große Hilfe
• dass man Parabeln und Ähnliches mit dem Rechner darstellen kann
• dass man nicht mehr so viel rechnen muss, keine Papierverschwendung
• die Möglichkeit, Notizen zu erstellen
• das Archivierungssystem im Seitensortierer
• dass der Taschenrechner zum Beispiel ausgefüllte Tabellen zeichnen kann
• dass man schneller Graphen zeichnen kann und man es bildlicher vorstellen kann
• dass man schwierige, komplizierte Aufgaben schneller rechnen kann

Schlecht fand/finde ich:
• dass der TI-Nspire bei vielen doch noch abstürzt.
• dass man die ganzen Rechenwege und Zwischenrechnungen nicht sieht und man deswegen die Probleme schlecht nachvollziehen kann
• man weiß vom Hintergrund nichts und kann die Probleme ohne Rechner nicht lösen.
• die ungenügende Zeichengenauigkeit.
• die Anzeige des Batteriestandes (kennt nur »voll« oder »leer«)
• der Rechner stürzt andauernd ab
• man verlernt die einfachsten Sachen
• dass der Rechner zu viele Probleme mit sich schleppt
• es gibt zu viele Ergebnisse für die gleiche Rechnung
• er stürzt zu oft ab
• man rechnet nichts mehr im Kopf
• es wird kein Rechenweg angezeigt
• kein Rechenweg!
• die Einführung in die Funktionen des Geräts
• die vielen Fehler der Software
• man verlernt mathematische Grundkenntnisse beim sturen Eintippen in den Taschenrechner
• kein Rechenweg!
• teils zu langsam in der Bedienung
• dass mir nicht mehr rechnen ohne Taschenrechner beigebracht wird und ich mir den Stoff nicht mehr selbst erarbeite
• dass der Rechner noch nicht ganz korrekt arbeitet
• ich habe das Gefühl, dass man einfach nur noch eine Aufgabe bekommt, sie eintippt, und fertig ist man
• die technischen Fehler
• dass der Mathelehrer meiner Meinung nach zu wenig Ahnung vom TI-Nspire hat
• grundlegende Bugs in der Software
• ungenaue Graphen (ohne Zoom)
• kurze Batterielaufzeit
• Fehler
• dass die Maus zu langsam reagiert
• wir hatten keine Entscheidungsfreiheit, ob der Rechner gewünscht wird oder nicht. Die Aufgaben sind viel zu schwer, um auf eine Idee zu kommen, diese mit dem Rechner zu lösen
• dass teilweise die Grundrechenarten kaum gefördert werden
• dass die Rechner noch so viele Fehler haben
• dass der TI-Nspire noch so viele Fehler hat
• dass wir nicht mehr ohne Rechner rechnen
• dass er nicht konsequent funktioniert
• dass wir nicht selbst entscheiden konnten, ob wir den Rechner wollen oder nicht
• dass die Ergebnisse sich öfters total unterscheiden und man nicht den Überblick bekommt, was richtig in den Rechner eingetippt worden ist und was falsch
• dass der TI-Nspire so oft abstürzt und sehr unübersichtlich ist. Man braucht zu lange, um den richtigen Weg mit dem Taschenrechner zu finden. Graphen sind schwer zu zeichnen oder zu verschieben
• den sehr langsamen Cursor
• die Fehler des Prototypen

Das sollte geändert werden:
• mehr per Hand rechnen
• mehr Unterricht ohne Rechner
• Lehrer sollte vor Unterricht über Funktion informiert sein
• dass man den TI-Nspire vielleicht vorher 2 Stunden sehr genau erklärt bekommt, was alles für Funktionen vorhanden sind
• die Steuerung des TI-Nspire könnte dynamischer sein, die Maus ist viel zu langsam
• die neue Version anschaffen
• höhere Energieeffizienz
• Graphen genau zeichnen lassen können
• Zoom in Graphen
• Lehrer sollten besser informiert werden
• Hintergründe eines Problems klären, sonst bringt auch der Rechner nichts
• mehr Unterricht ohne Rechner. Eine bestimmte Zahl von Stunden mit dem Rechner und einige ohne, sodass man beide Varianten erlernt
• weniger mit dem Taschenrechner rechnen und mehr per Hand
• mehr mit dem Gerät ausprobieren & üben
• vielleicht kann man einen Zettel erstellen mit allen Funktionen, die wir immanent brauchen
• mehr im Kopf rechnen und weniger den Nspire einsetzen
• eine Tabelle erstellen mit den Funktionen und Tastenkombinationen
• man sollte solche Prototypen nicht unbedingt an Schulen ausprobieren, da dies sehr viel Zeit des Unterrichts beansprucht
• bessere Rechner, mehr Zeit dafür
• das Display sollte beleuchtet werden
• es sollte nicht nur mit Taschenrechner gearbeitet werden, sondern auch mal ohne
• die Aufgaben mit und ohne rechnen, zum Vergleich.
• man müsste besser über das Gerät informiert werden
• TI-Nspire müsste zur Wahl stehen, ob man es überhaupt möchte
• 2 Kurse, einen mit, einen ohne
• vielleicht mehr Funktionen kennenlernen

Verstreut in meinem eigenen Unterricht und dann gebündelt auf dem ersten Elternabend nach Einführung des TI-Nspire koppelten meine Schülerinnen und Schüler zum Einsatz der neuen Technik zusätzlich Folgendes zurück:

1. Mathematik generell: Nur drei der 27 Teilnehmenden beabsichtigen, nach der Schule etwas zu studieren, was mathematische Kenntnisse erfordert. Einige der Schülerinnen und Schüler, die in Zukunft ohne höhere Schulmathematik durchs Leben gehen wollen, sehen nicht ein, daß sie mit dem TI-Nspire – in ihren Augen – noch schwierigere (realitätsnähere) Aufgaben bearbeiten, dazu außerdem die Bedienung eines neuen Geräts und einer neuen Software erlernen und darüberhinaus dafür auch noch Geld (Leihgebühr, Pfand) bezahlen müssen. Sie empfinden das Arbeiten mit dem TI-Nspire, wie überhaupt die gesamte höhere Schulmathematik, als sinnlos, da für ihr praktisches Leben außerhalb der Schule nicht von Belang. Der TI-Nspire verschärft diese Empfindung noch, da beim Arbeiten mit dem Gerät nur oberflächlich verstandene mathematische Ideen zur Lösung der Probleme nicht mehr genügen. Daß diese Verschärfung auch objektiv meßbar ist, wird an den Berichten aus anderen Bundesländern deutlich, in denen nach dem Einsatz von CAS-Software im Oberstufenunterricht und trotz einer Erhöhung der wöchentlichen Stundentafel für Mathematik von 3 auf 4 Stunden der Notendurchschnitt um einige Zehntel gefallen ist. Ich sehe die Einstellung dieser Schülerinnen und Schüler als Motivationshemmnis, das viele Lernende schon seit Klasse 8 oder 9 mit sich herumtragen, da sie das in der Schule Gelernte nur sehr selten in ihrem nichtschulischen Alltag anwenden können oder müssen. Als »Allgemeinwissen« läßt sich den Kursteilnehmern nach meiner Erfahrung ein Thema wie Vektorrechnung oder Differentialrechnung nicht mehr »verkaufen«, nur noch als mathematisches Allgemeinwissen – auf das zahlreiche Schülerinnen und Schüler inzwischen gern verzichten würden.
   
   
2. Der experimentelle Ansatz, zu dem die vielfältigen Darstellungsmöglichkeiten des TI-Nspire einladen, und den auch ich von Herzen unterstütze, schafft bei einigen Lernenden, die Mathematik bisher ganz anders erfahren haben, starke Verunsicherung: Was ist, wenn eine Schülerin oder ein Schüler beim Experimentieren einen »Fehler« macht beziehungsweise die gestellte Aufgabe auch nach einer Stunde oder gar nach zwei Stunden nicht lösen kann? Bekommen diese Schülerinnen und Schüler dann Minuspunkte für das »falsche« Probieren? Lernenden, die verinnerlicht haben, ein gestelltes Problem einfach mit dem richtig gelernten Rezept zu erschlagen, bricht an dieser Stelle der Boden unter den Füßen weg. Obwohl ich regelmäßig dazu einlade, eine Aufgabe einfach zu »versuchen« (mit den unterschiedlichen Mitteln, die der Nspire bietet), schrecken viele leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler allein schon vor dieser Aufgabenstellung zurück, weil sie einen solchen Ansatz als verunsichernd und bedrohlich empfinden. Dieses Phänomen tritt auch in anderen elften Klassen zutage und zeigt drastisch auf, wie tief verwurzelt und hinderlich die herkömmliche »Rezept-Einstellung« zur Mathematik sein kann. Es ist für Lehrkräfte nach meiner Erfahrung ein mühsames Unterfangen, erst in Klasse 11 dazu anzuregen, eine solche Einstellung zugunsten einer offeneren, freien, experimentelleren Einstellung zu ändern. Die Einstellungsveränderung muß deutlich früher einsetzen, so daß meine Kollegen und ich nun mit den NSpire-Geräten einzelne kleine Unterrichtseinheiten bereits in Klasse 9 und 10 durchführen. In Berlin gab es ähnliche CAS-Rechner für Schüler ab der 7. Klasse. Es zeigt sich dabei, daß jüngere Schülerinnen und Schüler die neue Technik tatsächlich mit mehr Offenheit und Spaß in ihr mathematisches Arbeiten aufnehmen als ihre Mitschülerinnen und Mitschüler in höheren Jahrgängen – die vielleicht schon von unwohlen Gedanken an das bevorstehende Abitur gezwackt werden.
   
   
3. Zeitaufwand: Einige Schülerinnen und Schüler erleben, daß sie mit dem Nspire mehr Zeit der Mathematik opfern müssen, da sie zugleich die Bedienung des Geräts und die mathematische Theorie des Lehrplans verstehen müssen. Diese Lernenden empfinden die Mehrarbeit als ungerechtfertigte, Ihnen aufgenötigte, Belastung und verweigern sich ihr in Teilen. Auch in einem Hamburger Modellversuch war bereits deutlich geworden, daß die Lernenden nach Einführung der CAS-Rechner mehr Zeit für Hausaufgaben aufbringen mußten. Viele Lernende erleben diese zusätzlich aufzubringende Zeit aber nicht als lohnend, sondern als zusätzliche Belastung, an welcher der neue Taschenrechner »Schuld« ist. Die Lernenden wissen zwar aus Erfahrung, etwa von ihrem Mobiltelefon, daß sie Zeit aufbringen müssen, um eine neue Technik zu beherrschen und sehen auch ein, daß dies auch für den TI-Nspire gilt. Aber aufgrund ihrer schlechten allgemein-mathematischen Motivation wollen sie diese Zeit nicht für einen Taschenrechner aufbringen, auch wenn dieser noch so schöne Kurven malt, automatisch Tabellen erstellt und Funktionen ableitet.
   
   
4. Abstürze: Einige der Prototypen, die uns die Firma Texas Instruments dankenswerterweise kostenlos zur Verfügung gestellt hat, stürzen gelegentlich und aus unerfindlichen Gründen ab. Die Abstürze sind gelegentlich so schwerwiegend, daß sämtliche gespeicherten Daten der Schülerinnen und Schüler mit gelöscht wurden. Dabei gehen Hausaufgaben, Notizen, Experimente, Definitionen aus dem Unterricht gleichermaßen unwiderbringlich verloren. Die Frustration der Lernenden über solche weitreichenden Fehler der Geräte ist groß und verständlich. Für den Augenblick habe ich die Empfehlung ausgesprochen, regelmäßig und in nicht zu großen Abständen Sicherheitskopien sämtlicher im Nspire gespeicherten Dateien auf dem heimischen Rechner zu erstellen. Diese Maßnahme erhöht aber den Zeitaufwand noch zusätzlich, da alles noch einmal auf einen »richtigen« Computer kopiert werden muß.
   
   
5. Auch die Bedienung der Software und seltsame Verhaltensweisen der Software wurden angesprochen:
   • Die Bewegung des Zeigers mit den Tasten gestaltet sich zäh.
   • An einige Objekte in der Zeichenumgebung kommt man nach dem Zeichnen mit Klicken, eigentlich gar nicht mehr, heran, und kann sie nicht mehr ändern, verschieben etc.
   • Man kann an Funktionen nicht wie von anderen Grafikprogrammen gewohnt mit einer Zoombox heranzoomen, sondern muß die unteren und oberen Grenzen der x- und der y-Achse jeweils einzeln ansteuern, anklicken, neue Werte eingeben und die Funktion neu zeichnen lassen. Hat man das einmal getan, verschwindet gelegentlich die niedrigste Markierung der x-Achse, ist danach nicht mehr anklickbar und läßt sich nicht mehr verändern. An dieser Stelle hilft nur eine komplette Neueingabe der Funktion in einem neuen Fenster, in der unsicheren Hoffnung darauf, daß die Markierung nicht noch einmal verschwindet. Die eingebauten Zoom-Möglichkeiten sind für unsere Zwecke größtenteils nicht brauchbar.
   • Obwohl manches lineare Gleichungssystem genau so eingegeben wurde wie vorn von Mitschülerinnen oder vom Lehrer am Datenprojektor, löst der Nspire das System nicht. Wenn man es danach noch einmal komplett neu eingibt, genau so wie vorher, löst er es doch. An dieser Stelle sind manche Lernenden geneigt, zu resignieren, weil sie nicht unterscheiden können, wann sie einen Fehler gemacht haben und wann der Rechner.
   • Die Prototypen sind anfällig schon für kleinste Fehler in der Syntax eingegebener Terme und Objekte. Wenn man beispielsweise in einem zu lösenden Gleichungssystem (»solve«) hinter dem System das Komma vergißt, nach dem man die Variablen auflistet, nach denen das System zu lösen ist, verweigert das Gerät den Dienst – statt etwa diesen Fehler selbstätig zu beheben oder zumindest auf die Stelle hinzuweisen, an der ein Eingabefehler vorliegt. Dieses Verhalten (Verweigerung des Dienstes ohne Angabe von spezifischen Gründen, auf dem Bildschirm erscheint einfach nur »Syntaxfehler«) kennt man von Software aus den siebziger und achtziger Jahren. Zwanzig, dreißig Jahre später sollte die Benutzerfreundlichkeit (insbesondere gegenüber Schülern, die Mathematik erst lernen) eigentlich deutlich ausgefeilter, verständiger und insgesamt sehr viel fehlertoleranter sein.
   • Wenn man im »Calculator« eine Funktion f(x) definiert, dann zur in den Grafikmodus wechselt und die Funktion zeichnen lassen will, indem man bei »f1(x)=« »f(x)« eingibt, zeichnet der Nspire die Funktion nicht. Oder nur manchmal. Wann und wieso (nicht), läßt sich nicht erschließen. Wenn die Funktion nicht gezeichnet wird, muß man ein neues Grafikfenster öffnen, die Achsen neu beschriften – sofern der Rechner das zuläßt. Manchmal verschwindet, wie schon erwähnt, nach dem Neuskalieren der y-Achse die niedrigste Markierung der x-Achse, wodurch die untere Grenze der x-Achse nicht mehr veränderbar wird. Und was jetzt? Noch ein Grafikfenster aufmachen? Hoffen, daß es beim nächsten Mal funktioniert?
   • In der Tabellenkalkulation ist der »seq«-Befehl zum Erstellen einer Sequenz von Werten praktisch, weil er einem das Eintippen einzelner Werte erspart, wenn man eine Tabelle füllen möchte. Er arbeitet zuverlässig und füllt eine Spalte mit Werten in der gewünschten Schrittweite. Aber wenn man in einem nachfolgenden Rechenschritt nun auf die einzelnen Werte in der gerade gefüllten Spalte zugreifen möchte, muß man die Spalte benennen. Tut man dies nun, wird unsinnigerweise der soeben eingegebene seq-Befehl gelöscht und sämtliche berechnete Werte in der umbenannten Spalte dazu. Dann muß man wieder alles von vorn eingeben.
   • Hat man es in der Tabellenkalkulation geschafft und eine Spalte beschriftet (etwa mit »t«) und dann mit Werten durch den seq-Befehl füllen lassen, kann man diese Spalte in einem besonderen Plotmodus im Grafikfenster zeichnen lassen. Wechselt man nun in den Calculator, um eine weitere Funktion zu definieren, etwa »g(t)=«..., so akzeptiert der Nspire die Definition, weist aber nicht darauf hin, daß die Variable »t« bereits als Name einer Spalte in einer Tabelle fungiert. Wenn man jetzt g(t) ableitet, erlebt man eine Überraschung: der Nspire bezieht sich nun auf die Tabellenspalte namens »t« und leitet g(t) an den Werten in der Spalte »t« ab. Statt einer Ableitungs-Funktion erhält man eine Liste mit Einzelwerten. Zwar markiert der Nspire bei der Eingabe auf der rechten Seite einer Funktionsdefinition Variablen, die bereits an anderer Stelle definiert wurden, durch Fettdruck, nicht aber auf der linken Seite (vor dem Gleichheitszeichen), was sehr verwirrend werden kann. Der Parameter »t« in der Definition von »g(t)« sollte nach üblichem Verständnis eigentlich als lokaler Platzhalter gehandhabt werden und außerhalb der Definition nichts mehr bedeuten.
   • In der Tabellenkalkulation kann der bereits angesprochene seq-Befehl auch eine Spalte mit Hunderten und einigen Tausenden von Werten füllen. Nicht das ist ein Problem – aber danach dauert es, je nach Anzahl der Werte in einer Spalte, bis zu mehrere Minuten, bis der Rechner auch nur einen einzigen Klick akzeptiert. Will man dann ein Feld edieren, vergehen dann wiederum mehrere Minuten. Nach der mit »Enter« bestätigten Eingabe noch einmal. Bis eine Schülerin eine Definition in einer solchen Tabelle verändern konnte (sie hatte einmal versehentlich in eine falsche Tabellenzelle geklickt), waren mehr als zehn Minuten verstrichen. Der Rechner scheint alle Spalten nach jedem Klick neu zu berechnen – und bei dieser Gelegenheit gleich noch einige weitere, zusätzliche, Dinge zu erledigen, was daran erkennbar wird, daß das erstmalige Berechnen der Werte deutlich weniger Zeit in Anspruch genommen hatte.
   • Das »Calculator«-Programm kann zuweilen nichts mehr berechnen. Weder Sinus noch Kosinus, Matrizen oder Ableitungen. Nicht einmal die Grundrechenart Plus oder Minus funktioniert dann mehr. Der Rechner gibt dann einen kryptischen Fehlerkommentar aus, demzufolge irgendein Stapel übergelaufen sei (Stack overflow). Dabei sind keinerlei Rechnungen aktiv, keinerlei andere Dokumente geöffnet. Dies bdeutet so viel wie ein kompletter Absturz, denn der Rechner macht fast gar nichts mehr. Er nimmt nur noch Eingaben entgegen und antwortet mit der Phrase vom übergelaufenen Stapel – statt die Ursache des Problems zu diagnostizieren, das Problem zu beheben und den Stapel wieder in einen brauchbaren Zustand zu versetzen. Das eigentliche Problem an diesem Verhalten ist, daß es sogar eine Betätigung des Hardware-Resetknopfes überdauert – nach dem Reset versucht der Nspire wieder die Systemsoftware zu laden, aber auf dem Bildschirm verbleiben breite krisselige Streifen, und der Rechner funktioniert nicht. In einem solchen Fall hilft nur noch, alle vier Batterien herauszunehmen und wieder einzusetzen – und zu hoffen, daß keine Dateien in Mitleidenschaft gezogen wurden. Bei einem solcher Abstürze im Unterricht erlitt eine Schülerin einen Totalverlust aller ihrer Dateien, ohne je die Chance gehabt zu haben, eine Sicherheitskopie ihrer Daten anzufertigen. Offensichtlich leidet die Software des Nspire an Speicherlecks oder anderen groben Programmierfehlern.
   • Ein Prototyp ließ sich von heute auf morgen einfach nicht mehr einschalten (Komplettausfall), auch nicht mit neuen Batterien.
   • Bei einem Rechner ließen sich die Cursortasten nicht mehr betätigen, beziehungsweise bewegten den Zeiger in äußerst überraschende Richtungen, was ein weiteres Arbeiten mit dem Gerät unzumutbar machte.
   • Nach den Osterferien waren fast alle Batteriesätze aufgebraucht, obwohl einige Rechner in den zwei Wochen nicht einmal angefaßt worden waren. Die Prototypen ziehen auch in ausgeschaltetem Zustand erheblich Strom und verteuert damit die Benutzung.

Elternsicht
Auf dem Elternabend zeigte sich, daß der TI-Nspire auch die Eltern, die ihre Kinder beim Arbeiten mit dem Gerät beobachten, polarisiert: Ein besorgter Vater, der die Schwierigkeiten seiner Tochter bei der Benutzung des TI-Nspire betonte, wollte den den Nspire und das Pilotprojekt an unserer Schule auf der Stelle beendet sehen. Seine Sicht traf auf eine ebenso entschiedene Bejahung des experimentellen Ansatzes mit dem Nspire und der Ausbildung der Lernenden an der Technologie. Die große Mehrheit der Eltern stand dem Gerät weder ablehnend noch ausdrücklich positiv gegenüber; sie schienen die Benutzung eines moderneren Rechners im Mathematikunterricht einfach als schulische Gegebenheit hinzunehmen. Wir werden das Projekt nach dessen Ende, also nach drei Jahren, abschließend auswerten und dann Konsequenzen ziehen; bislang haben wir nur mit fehlerbehafteten Prototypen gearbeitet, was bislang allenfalls ein erstes Zwischenurteil erlaubt.




Algorithmen   
Die im Nspire verwendeten Algorithmen wurden größtenteils nicht eigens für den Nspire neu entwickelt. Einige wurden offenbar von Vorgängermodellen wie dem TI-92+ übernommen, andere wohl von dem Programm Derive adaptiert, wobei einige Beschränkungen etwa des TI-92+ gelockert wurden. Damit übernehmen sie auch die Stärken und Schwächen der in diesen Geräten verwendeten Software. Die folgende punktuelle Betrachtung von Algorithmen der Software des TI-Nspire kam mit viel Hilfe von Herrn Konan Yao zustande:

1. Die alte Begrenzung des Umfangs algebraischer Objekte im CAS des Taschenrechners auf 32 KB, die noch im TI-92+ galt, ist aufgehoben. Es lassen sich nun umfangreichere Tabellen, Listen etc. erstellen. Wenn Sie das testen möchten, geben Sie im Calculator ein: »approx(randmat(60,60))«, was auf alten TI-Rechnern unmöglich war.
   
   
2. Die Begrenzung der Länge von Variablennamen auf 8 Zeichen, ebenfalls ein Relikt aus TI-92-Tagen, ist ebenfalls weggefallen. Variablen können nun längere, aussagekräftigere, Bezeichnungen erhalten.
   
   
3. Mehrzeilige Funktionen lassen sich eingeben, etwa die folgende zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen: FUNC
   Fibonacci:Define Fib(n)=Func:Local i,k1,k2,r:if n<1:return "Undefinierter Wert":0->k1:1->k2:For i,1,n:k2->r:k1+k2->k2:r->k1:EndFor:Return k2:EndFunc
   
   
4. Ganze Zahlen können (nur) bis zu 614 Ziffern haben. Damit läßt sich etwa die 1000. Fibonacci-Zahl mit der oben angegebenen Funktion noch berechnen, die 10000. aber schon nicht mehr. Zum Vergleich: die acht Jahre alte Software des hp49g+ von Hewlett Packard rechnet theoretisch mit bis zu 524288 Stellen, sowohl in der Mantisse als auch im Exponenten.
   
   
5. Der TI-Nspire kennt keine mehrfach-genauen Kommazahlen. Nach 14 Stellen ist Schluß mit der »Genauigkeit«, auch wenn intern bis zu 17 Stellen (die kommenden Vorabgeräte führen intern angeblich 18 Stellen). Diese Stellenzahl ist für bestimmte Iterationen schon zu wenig. In den Nspire-Prototypen arbeitet ein 32-bit RISC-Prozessor, der mit mehr als 100 Mhz getaktet wird – für solche Prozessoren sind auch Berechnungen mit längeren Zahlen eigentlich kein Problem.
   
   
6. Der Nspire hat Probleme beim Berechnen bestimmter Taylor-Entwicklungen. Geben Sie testhalber etwa »taylor(tan(tanh(x))-tanh(tan(x)),x,7)« ein. Ich mußte nach 4 1/4 Stunden Rechnung ergebnislos abbrechen, während andere Programme nach Sekunden das richtige Ergebnis liefern. Das gleiche Phänomen sehen Sie übrigens, wenn Sie diese Taylor-Entwicklung einmal von Derive berechnen lassen wollen. Nach 79 Minuten auf einem 2Ghz-PC mit einem AMD-64-bit-Prozessor legt Derive zwar eine Swap-Partition von sage und schreibe 1 GB Umfang an, kommt aber trotzdem zu keinem Ergebnis. Interner Grund für dieses drastische Scheitern ist die Berechnungsmethode des Nspire, bei der anscheinend Ableitung nach Ableitung berechnet werden, während es für solche Probleme wesentlich effizientere Verfahren gibt. Ein weiteres Beispiel für die Schwierigkeiten mit Taylor-Entwicklungen ist etwa »taylor(tan(x)*tanh(x),x,10)«
   
   
7. »Antiderivative« (unbestimmte Integrale, Stammfunktionen) zu vielen Funktionstypen kann der Nspire gar nicht berechnen, etwa zum Typ (f'(x)+g'(x))/(1+(f(x)+g(x))²). Wenn Sie es probieren möchten, wählen Sie etwa für f(x)=x² und g(x)=3x. Der TI-Nspire gibt die Aufgabe, elementar umgeformt, an den Nutzer zurück. Die Lösung lautet übrigens: »atan(x*(x+3))«. Der Nspire scheitert an Integrations-Aufgaben dieses und anderen Typs, weil die Software den Risch-Algorithmus nicht implementiert. An der Berechnung einer Stammfunktion zur Funktion »sqrt(tan(x))« scheitert der Nspire komplett und meldet – gleichgültig, in welcher Betriebsart man den Rechner betreibt – einen »Bereichsfehler«, was ich für einen echten Fehler der CAS-Software halte.
   
   
8. Auch bestimmte Integrale sind nicht unbedingt nach dem Geschmack des Nspire. Der Versuch, das folgende bestimmte Integral zu berechnen:
   
   liefert zwar ein Ergebnis, aber dieses erstreckt sich über mehrere horizontale Bildschirmseiten, enthält symbolische Komponenten und ist kaum zu verifizieren, während das korrekte Ergebnis einfach (1/105)*(-76 + 105*Pi/4), also eine einfache Zahl, ist.
   
   
9. Beim Versuch, bestimmte Grenzwerte zu berechnen, reagiert der Nspire mit einem weiteren echten Software-Fehler. Gleichgültig, in welchem Modus das Gerät betrieben wird, antwortet es auf die Anforderung »limit(arcsin(ln(2+i*y)),y,0,-1)« mit der Meldung »Bereichsfehler«.
   
   
10. Wenn Sie das Inverse einer 2x2-Matrix im exakten Modus berechnen lassen möchten, seien Sie auf der Hut: die Rechenzeit geht zuweilen in die Stunden! Probieren Sie etwa das folgende Beispiel aus (und legen Sie sicherheitshalber vor dem Berechnungsversuch neue Batterien ein):
    
    Mein Nspire-Prototyp brach nach 40 Minuten vergeblichen Rechnens ab, da die Batterien zur Neige gingen. Andere CAS-Taschenrechner, etwa der hp49g+ (mit 10 Jahre alter Software), liefern dagegen ein Ergebnis für die Inverse dieser Matrix, und Mathematica braucht dafür nicht einmal eine Sekunde.
    
    
    
    

Ausblick 

• Texas Instruments kündigt in einer neuen Werbe-Broschüre an, die überarbeitete Version des TI-Nspire verfüge nun über eine Taste, mit der Lehrkräfte den Rechner der Schülerinnen und Schüler in einen definierten Grundzustand versetzen und dabei alle von den Lernenden erstellten Dateien ausblenden können (etwa für Prüfungen), ohne den Reset-Knopf zu benutzen.
• Die Schülerinnen und Schüler haben dieser Broschüre zufolge die Möglichkeit, ihre Nspire-Geräte an USB-Hubs mit einem Windows-PC des Lehrers zusammenzuschließen, um vom Lehrer einheitlich überspielte Dateien auf ihren Geräten zu empfangen. Dazu muß die gesamte Klasse aber doch wieder in den Computerraum, sofern nicht im Klassenzimmer ein Windöws-PC zur Verfügung steht.
• Die zuvor angekündigte Macintosh-Version der Linksoftware wird in der neuen Broschüre nicht einmal mehr erwähnt. Anscheinend hat das Einhalten einmal gemachter Ankündigungen bei Texas Instruments im Moment keine Priorität.
• Das Tastenlayout der Nspire-Geräte wurde überarbeitet und vereinfacht. Insbesondere das Durchblättern vorhandener Dokumente soll nun einfacher vonstattengehen.
• Es gibt nun in der Grafik-Umgebung einen Dialog, in dem man die unteren und oberen Grenzen der Achsen eingeben kann. Dadurch soll nun das Zoomen erleichtert werden. Ob eine frei aufziehbare Zoombox, wie sie von gewohnten Computerprogrammen bekannt ist, vorhanden sein wird, konnte auch eine Kollegin, die mit diesen neuen Geräten bereits kurz gearbeitet hat, nicht sagen.
• Der Käufer soll nun in den TI-Nspire auch die Tastatur des TI-84+ einsetzen können. Dadurch soll der Nspire dann auch dieselben Grundfunktionen wie der TI-84+ erhalten und auch genauso zu bedienen sein. Da im Nspire auch die, bislang aber nicht nutzbare, Programmierschnittstelle des TI-84 eingebaut ist, wird interessant sein, zu sehen, ob sich durch das Einsetzen der neuen Tastatur der Nspire auch programmieren läßt, da die Programmierbarkeit eine der Grundfunktionen des TI-84 ist. Bislang lassen sich mit dem Nspire nur Funktionen definieren, nicht aber komplexere, sich häufig wiederholende Arbeitsabläufe automatisieren, was ja eigentlich eine der Stärken von Computern sein soll.

Resumé 
Ich möchte den TI-Nspire im Mathematik-Unterricht nicht missen. Erst durch ein solches CAS-Gerät mit seinen zahlreichen Möglichkeiten zur automatisierten Ausführung von Rechenschritten werden auch komplexere Aufgabenstellungen zugänglich. Dadurch wächst das Gefühl, im Mathematikunterricht tatsächlich etwas zu lernen (und zu unterrichten), was für das Leben außerhalb der Schule tatsächlich relevant ist. Allerdings kommt mir der Einsatz von CAS-Software, wie sie im NSpire verwendet wird, im elften Jahrgang zu spät. Dort haben sich bei vielen, inbesondere leistungsschwächeren, Lernenden bereits Einstellungen zur Mathematik derartig tief eingeschliffen, daß sich diese Schülerinnen und Schüler dem Spaß an einem experimentellen Ansatz mit seinen zwischenzeitlich auftretenden Phasen der Unsicherheit kaum mehr öffnen mögen. Möglicherweise sind aber diese Schülerinnen und Schüler auch deshalb so leistungsschwach geworden, weil ihnen die Freude am Experimentieren und am gleichzeitigen Erkunden verschiedener Darstellungsmöglichkeiten, wie sie der Nspire erlaubt, in unteren Klassenstufen nie nahegebracht wurde. Erste Versuche mit dem Nspire in unteren Klassenstufen lassen das Potential erahnen, das ein Einsatz solcher CAS-Geräte bei noch formbareren Schülerinnen und Schülern für einen ansprechenden, interessanten und nachhaltigen Mathematikunterricht bereithält. Trotz der Schwächen im Computer-Algebra-System kann man den TI-Nspire für viele Themen der Differentialrechnung in Klasse 11 einsetzen.


Links (öffnen in neuem Fenster)
Seite für Lehrer an TI-Nspire-Pilotprojektschulen mit Diskussionsforum: http://tinspirepilotsite.org
Einige wenige Materialien speziell für den TI Nspire gibt es auf: http://www.t3deutschland.de/index.php?id=141
Weitere Materialien speziell für den TI Nspire gibt es auf: http://www.ti-unterrichtsmaterialien.de/
Aufgabensammlung für den Unterricht mit dem TI-Nspire (pdf)
Eine Reihe von Trainingsvideos zum Nspire auf Englisch: http://www.atomiclearning.com/ti_nspire
Produktinformationen und Werbung auf Englisch: http://www.ti-nspire.com/tools/nspire/index.html
Werbung auf Deutsch: http://education.ti.com/educationportal/sites/DEUTSCHLAND/productDetail/de_nspire_cas.html
Onlineforum für TI-Nspire-Pilotschulen: http://tinspirepilotschulen.de/
Mein erster Bericht zu einer Lehrerfortbildungsveranstaltung mit einer Einführung der TI-Nspire-Geräte

Michael Kuyumcu, 9. Mai 2007